教學科研
TEACHING AND RESEARCH
立體幾何學習中的圖形觀(2)
來源:團委 發布時間:2020-02-20 瀏覽:17012
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四、造圖

在立體幾何的學習中,我們可以根據題目的特征,精心構造一個相應的特殊幾何模型,將陌生復雜的問題轉化為熟悉簡單的問題.

例4  設a、b、c是兩兩異面的三條直線,已知,且d是a、b的公垂線,如果,那么c與d的位置關系是( ).

(A)相交             (B)平行             (C)異面             (D)異面或平行

分析:判斷空間直線的位置關系,最佳方法是構造恰當的幾何圖形,它具有直觀和易于判斷的優點.根據本題的特點,可以考慮構造正方體,如圖5,在正方體 中,令AB=a,BC=d,.當c為直線時,c與d平行;當c為直線時,c與d異面,故選D.

五、拼圖

空間基本圖形由點、線、面構成,而一些特殊的圖形也可以通過基本圖形拼接得到.在拼圖的過程中,我們會發現一些變和不變的東西,從中感悟出這個圖形的特點,找出解決待求解問題的方法.

例5  給出任意的一塊三角形紙片,要求剪拼成一個直三棱柱模型,使它的全面積與給出的三角形的面積相等,請設計一種方案,并加以簡要的說明.

分析:這是2002年高考立體幾何題中的一部分.這個設計新穎的題目,使許多平時做慣了證明、計算題的學生一籌莫展.這是一道動作題,但它不僅是簡單的剪剪拼拼的動作,更重要的是一種心靈的“動作”,思維的“動作”.受題目敘述的影響,大家往往在想如何折起來?參考答案也是給了一種折的方法.那么這種方法究竟從何而來?其實逆向思維是這題的一個很好的切人點.我們思考:展開一個直三棱柱,如何還原成一個三角形?

把一個直三棱柱展開后可得到甲、乙兩部分,甲內部的三角形和乙是全等的,甲的三角形外是寬相等的三個矩形.現在的問題是能否把乙分為三部分,補在甲的三個角上正好成為一個三角形(如圖丙)?因為甲中三角形外是寬相等的矩形,所以三角形的頂點應該在原三角形的三條角平分線上,又由于面積要相等,所以甲中的三角形的頂點應該在原三角形的內心和頂點的連線段的中點上(如圖?。催@樣的設計,剪開后可以折成一個直三棱柱.

六、變圖

幾何圖形千變萬化,在不斷的變化中展示幾何圖形的魅力,在不斷的變化中培養我們的能力,在有意無意的變化中開闊我們的思路.

例6  已知在三棱錐中,PA=a,AB=AC=2a,,求三棱錐的體積.

分析:此題的解決方法很多,但切割是不錯的選擇.

思路1 設D為AB的中點,依題意有:,,所以有:

          

此解法實際上是把三棱錐一分為二,三棱錐B-PAD的底面是直角三角形,高就是BD,從而大大簡化了計算.這種分割的方法也是立體幾何解題中的一種重要策略.它化復雜為簡單,化未知為已知.

思路2   從點A出發的三條棱兩兩夾角為,故可補形為正四面體.

如圖,延長AP至S,使PA=PS,連SB、SC,于是四面體S-ABC為邊長等于2a的正四面體,而且

從上述的六個方面,我們可以看到,在立體幾何的學習中如果我們能正確了解圖形,合理利用圖形,不斷變化圖形,一定可以使我們的學習更上一個臺階.


                                                                                                                                                     


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