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立體幾何學習中的圖形觀(1)
來源:團委 發布時間:2020-02-20 瀏覽:16973
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立體幾何的學習離不開圖形,圖形是一種語言,圖形能幫我們直觀地感受空間線面的位置關系,培養空間想象能力.所以在立體幾何的學習中,我們要樹立圖形觀,通過作圖、讀圖、用圖、造圖、拼圖、變圖培養我們的思維能力.

一、作圖

作圖是立體幾何學習中的基本功,對培養空間概念也有積極的意義,而且在作圖時還要用到許多空間線面的關系.所以作圖是解決立體幾何問題的第一步,作好圖有利于問題的解決.

例1  已知正方體中,點P、E、F分別是棱AB、BC、的中點(如圖1).作出過點P、E、F三點的正方體的截面.

分析:作圖是學生學習中的一個弱點,作多面體的截面又是作圖中的難點.學生看到這樣的題目不知所云.有的學生連結P、E、F得三角形以為就是所求的截面.其實,作截面就是找兩個平面的交線,找交線只要找到交線上的兩點即可.觀察所給的條件(如圖2),發現PE就是一條交線.又因為平面ABCD//平面,由面面平行的性質可得,截面和面的交線一定和PE平行.而F是的中點,故取的中點Q,則FQ也是一條交線.再延長FQ和的延長線交于一點M,由公理3,點M在平面和平面的交線上,連PM交于點K,則QK和KP又是兩條交線.同理可以找到FR和RE兩條交線(如圖2).因此,六邊形PERFQK就是所求的截面.

二、讀圖

圖形中往往包含著深刻的意義,對圖形理解的程度影響著我們的正確解題,所以讀懂圖形是解決問題的重要一環.

例2  如圖3,在棱長為a的正方體中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=b<a,若Q是上的定點,P在上滑動,則四面體PQEF的體積( ).

(A)是變量且有最大值  (B)是變量且有最小值  (C)是變量無最大最小值   (D)是常量

分析:此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點.這個圖形有很多不確定因素,線段EF的位置不定,點P在滑動,但在這一系列的變化中是否可以發現其中的穩定因素?求四面體的體積要具備哪些條件?

仔細觀察圖形,應該以哪個面為底面?觀察,我們發現它的形狀位置是要變化的,但是底邊EF是定值,且P到EF的距離也是定值,故它的面積是定值.再發現點Q到面PEF的距離也是定值.因此,四面體PQEF的體積是定值.我們沒有一點計算,對圖形的分析幫助我們解決了問題.

三、用圖

在立體幾何的學習中,我們會遇到許多似是而非的結論.要證明它我們一時無法完成,這時我們可考慮通過構造一個特殊的圖形來推翻結論,這樣的圖形就是反例圖形.若我們的心中有這樣的反例圖形,那就可以幫助我們迅速作出判斷.

例3  判斷下面的命題是否正確:底面是正三角形且相鄰兩側面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱錐.

分析:這是一個學生很容易判斷錯誤的問題.大家認為該命題正確,其實是錯誤的,但大家一時舉不出例子來加以說明.問題的關鍵是二面角相等很難處理.我們是否可以考慮用一個正三棱錐通過變形得到?

如圖4,設正三棱錐的側面等腰三角形PAB的頂角是,底角是,作的平分線,交PA于E,連接EC.可以證明是等腰三角形,所以AB=BE.同理EC=AB.那么,△EBC是正三角形,從而就是滿足題設的三棱錐,但不是正三棱錐.


                                                                                                                                                     


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